# Dada a função: assinale a alternativa que corresponde à sua derivada.
Introdução
A derivada de uma função é um conceito fundamental em Cálculo. Ele mede a taxa de variação de uma função com relação a uma variável independente. Compreender a derivada é essencial para analisar funções, resolver problemas de otimização e modelar fenômenos do mundo real.
Definição de Derivada
A derivada de uma função f(x) com relação a x é definida como o limite da diferença quociente quando o incremento Δx se aproxima de zero:
f'(x) = lim (Δx -> 0) [f(x + Δx) - f(x)] / Δx
Regras de Derivação
Existem várias regras que podem ser usadas para calcular derivadas. Algumas das regras mais comuns incluem:
Regra da Potência:
f(x) = x^n -> f'(x) = n * x^(n-1)
Regra da Soma/Diferença:
f(x) = g(x) ± h(x) -> f'(x) = g'(x) ± h'(x)
Regra do Produto:
f(x) = g(x) * h(x) -> f'(x) = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x)
Regra da Cadeia:
f(x) = g(h(x)) -> f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)
Tabela de Derivadas Comuns
Para facilitar a derivada de funções comuns, uma tabela de derivadas comuns é fornecida abaixo:
Função | Derivada |
---|---|
x^n | n * x^(n-1) |
e^x | e^x |
ln(x) | 1/x |
sen(x) | cos(x) |
cos(x) | -sen(x) |
Exemplos Passo a Passo
Exemplo 1:
Calcule a derivada de f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1.
Usando a Regra da Soma/Diferença e a Regra da Potência:
f'(x) = (x^3)' + (2x^2)' - (5x)' + (1)'
= 3x^2 + 4x - 5 + 0
= 3x^2 + 4x - 5
Exemplo 2:
Calcule a derivada de f(x) = sen(x^2).
Usando a Regra da Cadeia:
f'(x) = cos(x^2) * (x^2)'
= cos(x^2) * 2x
= 2x cos(x^2)
Erros Comuns
Conclusão
A derivada é uma ferramenta poderosa que permite analisar e compreender funções. Ao dominar as regras de derivação e as técnicas de solução de problemas, você pode desbloquear o potencial do Cálculo para resolver uma ampla gama de problemas práticos e teóricos.
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